Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним

В 1900 году на II Международном конгрессе математиков в Париже Гильберт сформулировал 23 проблемы, которые считал важнейшими в математике. Эти задачи, называемые проблемами Гильберта, оказали существенное влияние на математику XX века. На настоящий момент полностью решены 12 из них (если не считать нескольких, в которых формулировка оказалась слишком расплывчатой для создания математического утверждения).

По состоянию на январь 2020 года известных нам знаков числа пи уже 50 триллионов.

Септиллион – это триллион триллионов, или 1024

Кафаров В. В., Ветохин В. Н. Основы автоматизированного проектирования химических производств.

Случается, мы обнаруживаем, что тот или иной раздел математики, который мы разработали ради чистой науки, без всякой мысли о том, сможет ли он принести какую-то пользу, с поразительной точностью описывает поведение материалов при определенных условиях или последствия столкновения субатомных частиц на скоростях, близких к скорости света. Безумные экскурсы в самые непроходимые дебри топологии, высших измерений и фрактальных поверхностей оборачиваются вполне реальными практическими применениями в технологиях, физике, химии, астрономии и музыке. Биение нашего сердца, сложнейшая структура наших легких, возбуждение нейронов головного мозга при каждой мысли (в том числе и прямо сейчас) – все это опирается на уравнения и подчиняется строгим законам математической логики.
И пусть порой нам кажется, что математика оторвана от реального мира, – она с нами всегда, во всем, что мы видим и делаем. Бывают моменты, когда жизнь кажется нам обыденной и однообразной. Но оглянитесь вокруг: мы в самом центре знаменательных событий и явлений, и за всем этим вихрем созидания стоит удивительная и странная наука, имя которой – математика.

Значительную часть своей жизни мы проживаем в твердой уверенности, что все, что мы ежедневно видим и ощущаем, буднично и заурядно. Но ничего подобного. Ядра большинства атомов, из которых мы состоим, сплавлены в горнилах гигантских звезд: наши тела почти в буквальном смысле сотканы из звездной пыли. Так что, глядя в ночное небо, мы видим те пространства, откуда в конечном счете появились. Наше повседневное существование невозможно без энергии солнечного света, накапливаемой химическими веществами в организмах, эволюционировавших из других, более простых, которым каким-то образом удалось зародиться на поверхности молодой пустынной планеты. Все окружающее нас пространство-время возникло спонтанно около 14 миллиардов лет назад из невообразимо крохотной точки и сейчас мчится в будущее, о котором мы еще почти ничего не знаем. Девяносто пять процентов всего вещества и энергии во Вселенной существует в виде темной материи и темной энергии, природа коих остается для нас загадкой. И всеми этими удивительными явлениями, всем, что разворачивается перед нашими глазами, – от субмикроскопического до космического масштаба – управляет незримая длань математики.

Аналогично существуют аксиомы, добавление которых к системе ZFC позволяет как опровергнуть континуум-гипотезу (скажем, аксиомы форсинга), так и доказать ее (например, аксиома внутренней модели).

Спустя более тысячи лет после Евклида некоторые арабские математики начали сомневаться в справедливости самого постулата: в их трудах содержатся первые намеки на то, что есть нечто и за пределами геометрии “Начал”.
В первой половине XIX века три математика – венгр Янош Бойяи, русский Николай Лобачевский и немец Карл Гаусс – осознали, что если изъять постулат о параллельных прямых, то получится не ущербная евклидова, а совершенно новая геометрия. Она получила название гиперболической, от греческого слова, означающего “слишком много” (в ней слишком много пространства для евклидовой плоскости). Гиперболическая геометрия характеризуется постоянной отрицательной кривизной (это означает, что гиперболическое пространство одинаково искривлено противоположным по сравнению со сферой образом). В гиперболической геометрии сумма углов треугольника меньше 180 градусов, а теорема Пифагора не выполняется. Это не значит, что евклидова геометрия неверна, а данное Евклидом доказательство теоремы Пифагора ошибочно. При условиях, изложенных в аксиомах Евклида, теорема Пифагора выполняется всегда. Но вот если эти аксиомы меняются, то возникают иные геометрические системы, в которых выполняются другие теоремы. Замена пятого постулата на его отрицание приводит к рождению абсолютно новой геометрии – гиперболической. То же самое происходит в любой математической системе: изменение базовых аксиом открывает новый математический мир, где действуют иные правила. Теорему Пифагора можно доказать, пользуясь набором аксиом – теми самыми пятью постулатами, – что сформулировал Евклид. Но уберите пятый постулат – и вы получите неевклидову геометрию, в которой теорема Пифагора неверна. Математики открыли и еще одну геометрическую систему, где также отрицается пятый постулат, но, кроме того, видоизменяется второй: прямые линии в ней не могут продолжаться бесконечно, поскольку находятся на поверхности сферы. Эта вторая неевклидова геометрия, получившая название эллиптической, была разработана немцем Бернхардом Риманом.

Результаты экспериментов Галилея и исследований немецкого астронома Иоганна Кеплера позже были положены Исааком Ньютоном в основу новой теории тяготения. Эту теорию до сих пор преподают в школах, с ее помощью составляют программы полетов космических кораблей по Солнечной системе, и на нее можно положиться почти в любой ситуации, когда требуется оценить гравитационные эффекты. Почти. Проблема в том, что она не всегда дает точный результат. Теория всемирного тяготения Ньютона позволяет с очень хорошей точностью предсказать эффекты гравитации – настолько хорошей, что в обычной ситуации разница между прогнозом и реальностью просто незаметна. И все же это лишь приближение. В 1915 году Эйнштейн обнародовал свою общую теорию относительности – на сегодняшний день нашу лучшую теорию гравитации. Она объясняет то, чего не может объяснить теория Ньютона, например, такие явления, как смещение орбиты Меркурия или отклонение света звезд вблизи Солнца, и ситуации с экстремальным гравитационным притяжением, как вблизи черных дыр. Никто ни на минуту не считает общую теорию относительности Эйнштейна последним словом в изучении гравитации – ведь она не объясняет, как действует притяжение в мире предельно малого, где царствует квантовая механика. Должна быть какая-то теория, объединяющая законы квантового мира и гравитацию, – мы просто пока не смогли ее найти.

Разумеется, в топологии и сейчас есть множество нерешенных проблем, и, вероятно, так будет всегда – ведь чем больше мы расширяем границы познанного, тем яснее понимаем, как многого еще не знаем. Но топология сегодня – уже не та узкоспециализированная, абстрактная область знаний, какой она была больше ста лет назад. Она имеет уйму практических применений, в том числе в робототехнике, физике конденсированного состояния, квантовой теории поля. А идеи топологии используются почти во всех областях математики.